Sistemi numerici

La necessita di contare nasce probabilmente tra il Paleolitico e il Neolitico con l’esigenza di ripartire il cibo o di contare i capi di bestiame. La parola “contare” ha etimologia latina e deriva dalla parola calcŭlus, che significa “pietruzza”, indica proprio l’azione di contare con le pietre.

Di conseguenza i sistemi numerici nascono con l’esigenza di tenere traccia dei beni posseduti o scambiati.

Un sistema di numerazione è un modo di esprimere le quantità rappresentandole attraverso un suo insieme di simboli, detti cifre numeriche, seguendo determinate regole di composizione.

Una cifra numerica è un simbolo (o un segno) utilizzato per rappresentare una quantità all’interno di un sistema di numerazione.

Ogni sistema numerico ha il suo insieme di cifre numeriche, ovvero il suo insieme di simboli utilizzati per rappresentare i numeri. Quando si parla di “rappresentazione numerica” si intende proprio il concetto di come si disegna il numero su un foglio di carta, con quali cifre numeriche lo si disegna.

Differenti civiltà hanno sviluppato differenti sistemi numerici con differenti cifre numeriche. Nel nostro sistema numerico decimale le cifre numeriche sono i segni fondamentali da 0 a 9. Nel sistema numerico romano le cifre numeriche sono le lettere I, V, X, L, C, D ed M.

Un numero è un’entità astratta che esprime una quantità. Ha una rappresentazione diversa a seconda del sistema numerico utilizzato.

Nella tabella seguente si osserva il numero 10 rappresentato in differenti sistemi numerici:

Sistema indiano	Sistema romano	Sistema egizio	Sistema babilonese
10	X	𓎆	𒌋

Sistemi numerici additivi

I primi metodi di conteggio erano basati sulla comparazione, il numero di beni ed il numero di sassolini (o di pietre d’argilla) dovevano corrispondere. Il singolo sassolino aveva il valore di un unità ed il numero complessivo di sassolini indicava il numero di merci o di beni scambiati o posseduti.

Sulle tavolette d’argilla sumere ritrovate erano raffigurati sia il bene, come una pecora o una pianta, sia un numero di segni pari alla quantità del bene, ad esempio cinque sassolini ad indicare cinque pecore o cinque piante.

L’esigenza di contare numeri alti portò all’uso di elementi diversi che nel conteggio rappresentavano quantità differenti, una pietra più grande delle altre poteva avere il significato di 10 capi di bestiame o 10 beni coinvolti nello scambio. Questa differente quantità indicata dai vari elementi fu ovviamente poi riportata anche sulle tavolette d’argilla e nelle scrittura basate su ideogrammi, in cui il simbolo per indicare l’unità si differenziava dal simbolo che indicava le cinquine, che a loro volta si differenziavano dai simboli che indicavano le decine, le centinaia e le migliaia.

Questo sistema per indicare le quantità era molto pratico e di facile utilizzo, man mano che si contavano i beni venivano aggiunte le pietre (grandi o piccole) nei contenitori o i segni sulle tavolette d’argilla o sui papiri, addizionando alla quantità precedentemente contata la nuova quantità. Dovendo scambiare una dozzina di pecore, queste venivano contate, per 10 pecore si disegnava una pietra grande, le 2 pecore rimanenti erano contate singolarmente ed indicate con due pietre piccole. Da notare che se si indicava prima una sola pecora con una pietra piccola, poi la decina di pecore con la pietra grande e poi l’ultima pecora con la pietra piccola, la quantità espressa era sempre una dozzina. Rappresentate su una tavoletta d’argilla o su un papiro, i segni “pietra piccola, pietra grande, pietra piccola” oppure i segni “pietra grande, pietra piccola, pietra piccola” indicavano la stessa quantità, non faceva distinzione l’ordine.

Questo sistema di conteggio abbastanza elementare è stato sviluppato da diverse civiltà, ogni civiltà attribuiva una determinata quantità ad un determinato simbolo, portando alla nascita del concetto di cifra numerica.

Un sistema numerico additivo è un sistema numerico nel quale non importa l’ordine con cui sono scritte le cifre numeriche, ogni cifra (simbolo) esprime una determinata quantità ed è addizionando le quantità espresse da tutte le cifre (tutti i simboli) ad indicare la quantità complessiva. La quantità espressa è la stessa, indipendentemente dall’ordine in cui si trovavano i simboli.

Lo svantaggio di questi sistemi numerici additivi è che lo svolgimento delle operazioni matematiche come la moltiplicazione o la divisione non è immediato, ma è abbastanza lungo e macchinoso.

Il sistema numerico additivo sumero

La scrittura proto-cuneiforme è un sistema di scrittura nato in mesopotamia che poi si è evoluto nella scrittura cuneiforme.

Si tratta di un sistema numerico con base mista, sia base dieci che base sei.

Le cifre del sistema numerico sumero in scrittura proto-cuneiforme sono le seguenti:

Con la scrittura cuneiforme si utilizzano simboli a forma di cuneo, tipicamente impressi su tavole di argilla con lo “stilus” (lo stilo), uno strumento appuntito realizzato in canna o legno.

Il sistema numerico, con la scrittura cuneiforme, si evolve rappresentando le quantità come di seguito:

Simbolo	Valore	Descrizione
𒁹	1	Chiodo
𒌋	10	Punzone
𒐕	60	Ges
𒐞	600	Totalità
𒄭	3600	Grande Totalità
𒐬	36000
𒄱	216000

I numeri sumeri sono rappresentati come successione delle cifre sopra indicate. Da notare come non esisteva un simbolo per rappresentare lo zero.

Il sistema numerico additivo egizio

Il sistema numerico Egizio è un sistema numerico additivo, la posizione di una cifra all’interno del numero non conta, una cifra ha sempre lo stesso valore ovunque sia posizionata.

Le cifre del sistema numerico egizio sono le seguenti:

Simbolo	Valore	Descrizione
𓏺	1	Bastone
𓎆	10	Arco
𓍢	100	Corda, vortice
𓆼	1.000	Ninfea, loto
𓂭	10.000	Dito
𓆐	100.000	Uccello
𓁨	1.000.000	Un dio

I numeri egizi sono rappresentati come successione delle cifre sopra indicate. Da notare come non esisteva un simbolo per rappresentare lo zero.

La quantità 126 nel sistema numerico egizio è indicata dal numero 𓍢 𓎇 𓏿, rappresentato come una successione composta da:

• la cifra 𓍢 indicante un centinaio;
• due cifre 𓎆 indicanti una decina;
• sei cifre 𓏺 indicanti l’unità.

Sommate le quantità indicate da ogni cifra, si ottiene che il numero rappresenta la quantità 126.

La quantità 23295 nel sistema numerico egizio è indicata dal numero 𓂮 𓆾 𓍣 𓎎 𓏾, rappresentato come una successione composta da:

• due cifre 𓂮 indicanti diecimila;
• tre cifre 𓆾 indicanti mille;
• due cifre 𓍣 indicanti un centinaio;
• nove cifre 𓎎 indicanti una decina;
• cinque cifre 𓏾 indicanti l’unità.

Sommate le quantità indicate da ogni cifra, si ottiene che il numero rappresenta la quantità 23295.

La quantità 3.220.005 è indicata dal numero 𓁨 𓁨 𓁨 𓆐 𓆐 𓂮 𓏾, che è rappresentato come una successione composta da:

• tre cifre 𓁨 indicanti un milione;
• due cifre 𓆐 indicanti centomila;
• due cifre 𓂮 indicanti diecimila;
• nessuna cifra indicante mille;
• nessuna cifra indicante un centinaio;
• nessuna cifra indicante una decina;
• cinque cifre 𓏾 indicanti l’unità.

Sommate le quantità indicate da ogni cifra, si ottiene che il numero rappresenta la quantità 3.220.005.

Il sistema numerico additivo romano

Il sistema numerico romano è un sistema numerico additivo, la posizione di una cifra all’interno del numero non conta, una cifra ha sempre lo stesso valore ovunque sia posizionata.

Simbolo	Valore	Descrizione
I	1	Uno
V	5	Cinque
X	10	Dieci
L	50	Cinquanta
C	100	Cento
D	500	Cinquecento
M	1000	Mille

I numeri romani sono rappresentati come successione delle cifre sopra indicate. Da notare come non esisteva un simbolo per rappresentare lo zero.

Una regola di composizione dei numeri romana indicava che i simboli I, X, C e M possono essere ripetuti al massimo tre volte, mentre i simboli V, L e D possono essere presenti solo una volta.

La quantità 126 nel sistema numerico romano è indicata dal numero CXXVI, rappresentato come una successione composta da:

• la cifra C indicante un centinaio;
• due cifre X indicanti le decine;
• la cifra V indicante una cinquina;
• la cifra I indicante un’unità;

Sommate le quantità indicate da ogni cifra, si ottiene che il numero rappresenta la quantità 126.

La quantità 3585 nel sistema numerico romano è indicata dal numero MMMDLXXXV, rappresentato come una successione composta da:

• tre cifre M indicante le migliaia;
• una cifra D indicante cinquecento;
• una cifra L indicante cinquanta;
• tre cifre X indicanti le decine;
• una cifra V indicante una cinquina;

Sommate le quantità indicate da ogni cifra, si ottiene che il numero rappresenta la quantità 3585.

Una regola particolare del sistema romano è la regola “sottrattiva”: una cifra seguita da un’altra con valore superiore denota una quantità (positiva) data dalla differenza tra le due. Solo I, X e C possono essere usate in senso sottrattivo.

Alcuni esempi di questa regola sottrattiva sono:

• 4 = IV;
• 9 = IX;
• 40 = XL;
• 90 = XC;
• 400 = CD;
• 900 = CM.

Nel sistema numerico romano, il numero 954 viene rappresentato come CMLIV, rappresentato come una successione composta da:

• le cifre CM indicanti, secondo il principio sottrattivo, un migliaio meno un centinaio, cioè novecento;
• una cifra L indicante cinquanta;
• le cifre IV indicanti, secondo il principio sottrattivo, una cinquina meno un’unità, cioè quattro;

Sommate le quantità indicate dalle cifre indicate, si ottiene che il numero rappresenta la quantità 954.

Il numero 2494 viene rappresentato come MMCDXCIV, rappresentato come una successione composta da:

• le cifre MM indicanti le migliaia;
• le cifre CD indicanti, secondo il principio sottrattivo, cinquecento meno cento, cioè quattrocento;
• una cifra XC indicanti, secondo il principio sottrattivo, cento meno dieci, cioè novanta;
• le cifre IV indicanti, secondo il principio sottrattivo, una cinquina meno un’unità, cioè quattro;

Sommate le quantità indicate dalle cifre indicate, si ottiene che il numero rappresenta la quantità 2494.

Sistemi numerici posizionali

I sistemi numerici posizionali nacquero già nella civiltà babilonese, ma furono dimenticati per poi essere reinventati in quella cinese che li diffuse nelle altre civiltà asiatiche. Furono gli indiani a creare l’odierno sistema numerico che oggi conosciamo, introducendo il concetto innovativo di zero numerico.

Un sistema numerico si dice posizionale se una stessa cifra numerica esprime una quantità diversa a seconda della posizione assunta nella rappresentazione numerica. La posizione modifica la quantità espressa dalla cifra numerica.

La base di un sistema numerico posizionale è il numero di differenti cifre numeriche (simboli) utilizzate per rappresentare i numeri. Ad esempio nel sistema numerico decimale che utilizziamo, la base è 10 perché le differenti cifre numeriche sono 10, da zero (0) a nove (9). Nel sistema numerico binario la base è due perché sono 2 le differenti cifre numeriche: zero (0) ed uno (1).

La base dovrebbe essere indicata come pedice del numero e quando non è presente si sottintende che il numero è rappresentato in base decimale.

Ogni numero è quindi rappresentato da una sequenza di cifre numeriche appartenenti al sistema numerico. Ad esempio il numero 3413 espresso in un sistema numerico posizionale decimale è rappresentato da una sequenza di cifre 3, 4, 1 e 3.

Sistema numerico decimale posizionale

Il sistema numerico posizionale decimale fu inventato dagli indiani e solo molti secoli dopo si diffuse in Europa. Le cifre originarie erano leggermente differenti:

Simbolo attuale	Simbolo originario	Codice Unicode
0	०	U+0966
1	१	U+0967
2	२	U+0968
3	३	U+0969
4	४	U+096A
5	५	U+096B
6	६	U+096C
7	७	U+096D
8	८	U+096E
9	९	U+096F

Come si può notare, esiste un simbolo per lo zero, ad indicare nessuna quantità.

I simboli basilari di quel sistema numerico nel tempo si sono evoluti graficamente fino a diventare i simboli da zero a nove che rappresentano graficamente i numeri del nostro sistema numerico posizionale decimale.

La base, detta anche radice, del nostro sistema numerico posizionale decimale è 10, poiché le cifre sono 10, quindi la base è decimale. La base si indica come pedice del numero: se non è presente si sottintende che è base 10.

Un numero espresso nel nostro sistema numerico posizionale decimale è rappresentato da una sequenza di cifre decimali.

Per convenzione le posizioni delle cifre numeriche sono indicate da sinistra verso destra e contate a partire dalla posizione zero. Ad esempio, nel nostro sistema numerico decimale le cifre del numero 21035 hanno le seguenti posizioni:

posizione	4	3	2	1	0
cifra	2	1	0	3	5

Ogni cifra occupa una posizione all’interno del numero. Ogni posizione esprime la cifra numerica moltiplicata per una potenza del dieci, potenza che viene indicata dalla posizione stessa:

• in posizione zero, la cifra numerica è moltiplicata per la potenza 10⁰;
• in posizione uno, la cifra numerica è moltiplicata per la potenza 10¹;
• in posizione due, la cifra numerica è moltiplicata per la potenza 10²;
• e cosi via per le altre posizioni.

Una cifra che nella rappresentazione numerica è posta in posizione i-esima esprime una quantità pari alla cifra moltiplicata per la potenza 10ⁱ. La somma delle cifre indica poi la quantità espressa dalla rappresentazione numerica.

Le quantità sono poi espresse in una forma detta polinomiale, perché espressa dal polinomio in cui b è la base, p è la posizione e c_p è la cifra numerica alla posizione p:

n = c_p ⋅ b^p + c_p-1 ⋅ b^p-1 + … + c₂ ⋅ b² + c₁ ⋅ b¹ + c₀ ⋅ b⁰

La cifra meno significativa (in inglese Least Significative Digit) di un numero intero è la cifra in posizione zero.

La cifra più significativa (in inglese Most Significative Digit) di un numero intero è la cifra in posizione maggiore.

Ad esempio, nel sistema numerico decimale, ogni cifra del numero 21035 esprime la quantità indicata nella seguente tabella:

posizione	4	3	2	1	0
cifra	2	1	0	3	5
quantità	2 ⋅ 104	1 ⋅ 103	0 ⋅ 102	3 ⋅ 101	5 ⋅ 100

Come si può notare, la quantità espressa dalla cifra 3 non è tre, ma è tremila poiché la posizione ha il ruolo di modificare la quantità espressa, in posizione tre la cifra numerica è moltiplicata per la potenza 10³;

Tenuto conto che il numero 21035₁₀ è composto da cinque cifre in cinque posizioni partendo dalla posizione zero e che è rappresentato con base b=10, la quantità espressa in forma polinomiale è la seguente:

n = c₄ ⋅ 10⁴ + c₃ ⋅ 10³ + c₂ ⋅ 10² + c₁ ⋅ 10¹ + c₀ ⋅ 10⁰ = 2 ⋅ 10⁴ + 1 ⋅ 10³ + 0 ⋅ 10² + 3 ⋅ 10¹ + 5 ⋅ 10⁰ = 21035₁₀

Nel numero intero 21035₁₀ la cifra meno significativa è la cifra in posizione zero, cioè la cifra cinque, mentre la cifra più significativa è la cifra in posizione maggiore, cioè due.

Altro esempio, nel sistema numerico decimale, ogni cifra del numero 1300089 esprime la quantità indicata nella seguente tabella:

posizione	6	5	4	3	2	1	0
cifra	1	3	0	0	0	8	9
quantità	1 ⋅ 106	3 ⋅ 105	0 ⋅ 104	0 ⋅ 103	0 ⋅ 102	8 ⋅ 101	9 ⋅ 100

Come si può notare, la quantità espressa dalla cifra 3 non è tre, ma è trecentomila poiché la posizione ha il ruolo di modificare la quantità espressa, in posizione tre la cifra numerica è moltiplicata per la potenza 10⁵;

Tenuto conto che il numero 1300089₁₀ è composto da sette cifre in sette posizioni partendo dalla posizione zero e che è rappresentato con base b=10, la quantità espressa in forma polinomiale è la seguente:

n = c₆ ⋅ 10⁶ + c₅ ⋅ 10⁵ + c₄ ⋅ 10⁴ + c₃ ⋅ 10³ + c₂ ⋅ 10² + c₁ ⋅ 10¹ + c₀ ⋅ 10⁰ = 1 ⋅ 10⁶ + 3 ⋅ 10⁵ + 0 ⋅ 10⁴ + 0 ⋅ 10³ + 0 ⋅ 10² + 8 ⋅ 10¹ + 9 ⋅ 10⁰ = 1300089₁₀

Nel numero intero 1300089₁₀ la cifra meno significativa è la cifra in posizione zero, cioè la cifra nove, mentre la cifra più significativa è la cifra in posizione maggiore, cioè uno.

Sistema numerico posizionale babilonese

Il sistema numerico posizionale babilonese è stato in parte ereditato dai sumeri e dalla scrittura cuneiforme ed è stato sviluppato ulteriormente con idee innovative per l’epoca.

La base del sistema numerico posizionale babilonese è sessagesimale, ovvero sono presenti sessanta differenti cifre numeriche, costruite a partire da un secondo sistema numerico additivo. Le cifre utilizzate per rappresentare i cinquantanove numeri sono le seguenti:

Simbolo	Valore	Descrizione
𒑰	1	chiodo verticale
𒌋	10	un punzone

Da notare come non esisteva un simbolo per rappresentare lo zero (solo verso il finire della loro società ne fu adottato uno) e che i due segni sono gli stessi della scrittura cuneiforme dei sumeri, combinati solo fino al valore cinquantanove.

Questo sistema numerico additivo prevedeva due regole:

• si poteva ripetere fino a nove volte il simbolo del chiodo verticale;
• il numero massimo di ripetizioni per il simbolo del punzone era di cinque volte;

Dal numero sessanta in poi si utilizzava un sistema posizionale con base 60 in cui le cifre sono rappresentate con il sistema additivo appena citato.

Il numero 5 era espresso da cinque cifre numeriche rappresentanti l’unità, quindi cinque chiodi verticali disegnati in linea o sovrapposti:

5 = 𒑰𒑰𒑰𒑰𒑰 = 𒐊

Il numero 9 era espresso da nove cifre numeriche rappresentanti l’unità, quindi nove chiodi verticali disegnati in linea o sovrapposti:

9 = 𒑰𒑰𒑰𒑰𒑰𒑰𒑰𒑰𒑰 = 𒑆

Il numero 21 era espresso da una cifra numerica rappresentante l’unità e da due cifre numeriche rappresentanti le decine, quindi due punzoni e un chiodo. Essendo questa rappresentazione additiva, non importava la posizione dei simboli:

21 = 𒎙𒑰 = 𒑰𒎙

Il numero 57 era espresso da cinque cifre numeriche rappresentanti le decine e sette cifre numeriche rappresentanti le unità, quindi cinque punzoni e sette chiodi disegnati sovrapposti o in linea:

57 = 𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋 𒑰𒑰𒑰𒑰 𒑰𒑰𒑰 = 𒐐𒑂

Questi 59 numeri (più lo zero mancante e poi aggiunto successivamente) forma l’insieme basilare delle cifre numeriche sulle quali si poggiava il sistema numerico posizionale babilonese.

Ogni cifra era rappresentabile con uno dei 59 numeri (60 con l’aggiunta dello zero).

Il sistema è posizionale e ogni cifra occupa una posizione all’interno della rappresentazione numerica.

La base, detta anche radice, del sistema numerico posizionale babilonese è 60, poiché le cifre sono 60, anche se composte a partire da un sistema numerico additivo, ma sono cifre a tutti gli effetti.

Ogni posizione esprime la cifra numerica moltiplicata per una potenza di sessanta, potenza che viene indicata dalla posizione stessa:

• in posizione zero, la cifra numerica è moltiplicata per la potenza 60⁰;
• in posizione uno, la cifra numerica è moltiplicata per la potenza 60¹;
• in posizione due, la cifra numerica è moltiplicata per la potenza 60²;
• e cosi via per le altre posizioni.

Una cifra che nella rappresentazione numerica è posta in posizione i-esima esprime una quantità pari alla cifra moltiplicata per la potenza 60ⁱ. La somma delle cifre indica poi la quantità espressa dalla rappresentazione numerica.

Le quantità sono poi espresse in una forma detta polinomiale, perché espressa dal polinomio in cui b è la base, p è la posizione e c_p è la cifra numerica alla posizione p:

n = c_p ⋅ b^p + c_p-1 ⋅ b^p-1 + … + c₂ ⋅ b² + c₁ ⋅ b¹ + c₀ ⋅ b⁰

Ad esempio, nel sistema numerico posizionale babilonese, ogni cifra del numero 61 esprime la quantità indicata nella seguente tabella:

posizione	1	0
cifra	𒑰	𒑰
quantità	1 ⋅ 601	1 ⋅ 600

La rappresentazione polinomiale è la seguente:

n = 𒑰𒑰 = c₁ ⋅ b¹ + c₀ ⋅ b⁰ = 𒑰 ⋅ 60¹ + 𒑰 ⋅ 60⁰ = 1 ⋅ 60¹ + 1 ⋅ 60⁰ = 60 + 1 = 61

Ad esempio, nel sistema numerico posizionale babilonese, ogni cifra del numero 71 esprime la quantità indicata nella seguente tabella:

posizione	1	0
cifra	𒑰	𒌋𒑰
quantità	1 ⋅ 601	11 ⋅ 600

n = 𒑰 𒌋𒑰 = 1 ⋅ 60¹ + 11 ⋅ 60⁰ = 60 + 11 = 71

La rappresentazione può sembrare errata a prima vista, ma questo sistema numerico permette con una sola cifra numerica di contare fino a sessanta, con due cifre numeriche di contare fino a 3600.